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使用正态分布优化您的投资组合

正态分布是以对称方式绘制其所有值的概率分布,大多数结果位于概率平均值附近。 正态(钟形曲线)分布 数据集(比如100个人的身高,一个班45个学生获得的分数等。)往往在同一数据点或同…

正态分布是以对称方式绘制其所有值的概率分布,大多数结果位于概率平均值附近。

正态(钟形曲线)分布

数据集(比如100个人的身高,一个班45个学生获得的分数等。)往往在同一数据点或同一范围内有许多值。这种数据点的分布称为正态分布或钟形曲线分布。

例如,在一组100个人中,10个人的身高可能低于5英尺,65个人的身高可能在5到5.5英尺之间,25个人的身高可能在5.5英尺以上。这个范围内的分布可以绘制如下:

Image by Sabrina Jiang © Investopedia 2021

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Image by Sabrina Jiang Investopedia 2021

类似地,在任何给定数据集的图表中绘制的数据点可能类似于不同类型的分布。最常见的三种是左对齐、右对齐和混杂分布:

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Image by Sabrina Jiang Investopedia 2021

请注意这些图表中的红色趋势线。这大致表明了数据分布趋势。第一个“左对齐分布”表示大多数数据点位于较低的范围内。在第二个“右对齐分布”图中,大多数数据点位于范围的高端,而最后一个“混杂分布”代表没有任何明显趋势的混合数据集。

在许多情况下,数据点的分布往往围绕一个中心值,该图显示了一个完美的正态分布——两边均衡,最高数量的数据点集中在中心。

这是一个完美的、正态分布的数据集:

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Image by Sabrina Jiang Investopedia 2021

这里的中心值是50(它具有最多的数据点),并且分布向0和100(它具有最少的数据点)的极端值均匀地逐渐减少。正态分布围绕中心值对称,每边有一半的值。

许多现实生活中的例子符合钟形曲线分布:

  • 多次抛一枚公平的硬币(比如100次或更多),你会得到一个正面和反面的均衡正态分布。
  • 掷出一对公平骰子多次(比如100次或更多次),结果将是一个平衡的正态分布,以数字7为中心,向极端值2和12均匀递减。
  • 一个相当大的群体中个体的身高和一个阶层的人所获得的分数都遵循正态分布模式。
  • 在金融领域,外汇汇率、价格指数和股票价格的对数值的变化被认为是正态分布的。
  • 风险与回报

    任何投资都有两个方面:风险和回报。投资者寻找尽可能低的风险和尽可能高的回报。正态分布通过收益均值和风险标准差来区分这两个方面。

    平均值或期望值

    股票价格的一个特殊的平均变化可能是每天1.5%,也就是说,平均上涨1.5%。这个表示回报的平均值或期望值可以通过计算包含该股票历史日价格变化的足够大的数据集的平均值来获得。均值越高越好。

    标准差

    标准差表示平均值偏离平均值的量。标准差越高,投资风险越大,因为这会导致更多的不确定性。

    下面是相同的图形表示:

    Image by Sabrina Jiang © Investopedia 2021

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    Image by Sabrina Jiang Investopedia 2021

    因此,正态分布通过其均值和标准差的图形表示能够在明确定义的范围内表示收益和风险。

    它有助于了解(并确信)如果一些数据集遵循正态分布模式,它的平均值将使我们知道预期的回报,它的标准差将使我们知道大约68%的值将在1个标准差内,95%在2个标准差内,99%的值将在3个标准差内。平均值为1.5且标准差为1的数据集比另一个平均值为1.5且标准差为0.1的数据集风险更大。

    了解每项选定资产(即股票、债券和基金)的这些价值将使投资者意识到预期的回报和风险。

    很容易应用这个概念,代表一只股票、债券或基金的风险和回报。但是这能扩展到多种资产的投资组合吗?

    个人通过购买单一股票或债券或投资共同基金开始交易。渐渐地,他们倾向于增持,购买多只股票、基金或其他资产,从而形成一个投资组合。在这种增量场景中,个人在没有策略或深谋远虑的情况下构建他们的投资组合。专业基金经理、交易员和做市商遵循一种系统的方法,使用一种被称为现代投资组合理论(MPT)的数学方法来建立他们的投资组合,该理论建立在“正态分布”的概念之上

    现代投资组合理论

    现代投资组合理论(MPT)提供了一种系统的数学方法,其目的是通过选择各种资产的比例,在给定的投资组合风险下,使投资组合的预期回报最大化。另一方面,它还提供了在给定的预期回报水平下最小化风险。

    为实现这一目标,不应仅根据资产自身的优点来选择要包含在投资组合中的资产,而应根据每项资产相对于投资组合中其他资产的表现来选择。

    简而言之,MPT定义了如何最好地实现投资组合多样化,以获得最佳可能的结果:在可接受的风险水平下获得最大回报,或者在期望的回报水平下获得最小风险。

    积木

    MPT是一个革命性的概念,它的发明者获得了诺贝尔奖。这一理论成功地提供了一个数学公式来指导多元化投资。

    多元化是一种风险管理技术,它通过投资不相关的股票、行业或资产类别来消除“一篮子鸡蛋”的风险。理想情况下,投资组合中某项资产的积极表现会抵消其他资产的消极表现。

    为了得到有n种不同资产的投资组合的平均回报,计算组成资产回报的比例加权组合。

    由于统计计算和正态分布的性质,总体投资组合回报(Rp)计算如下:

    Rp =∑WiRi _ p = \ sum { w _ Ir _ I } Rp =∑wi Ri

    总和(∩),其中wi是资产I在投资组合中的比例权重,Ri是资产I的回报率(均值)。

    投资组合风险(或标准差)是所有资产对(相对于资产对中的其他资产)所包含资产的相关性的函数。

    由于统计计算和正态分布的性质,总体投资组合风险(Std-dev)p计算如下:

    (STD-dev)p = sqrt[∑I∑jwiwj(STD-dev)I(STD-dev)j(cor-cofij)]\ begin { aligned } & \ left(STD-dev \ right)_ p = \ \ & sqrt \ left[\ sum _ I \ sum _ j { w _ I } { w _ j } \ left(STD-dev \ right)_ I \ left(STD-dev \ right)_ j \ left(cor-cof _ { ij } \ right)\ right]\ \ \ end

    这里,cor-cof是资产I和j收益的相关系数,sqrt是平方根。

    这考虑了每项资产相对于其他资产的相对性能。

    虽然这在数学上看起来很复杂,但这里应用的简单概念不仅包括单个资产的标准差,还包括彼此相关的标准差。

    华盛顿大学有一个很好的例子。

    MPT的一个简单例子

    作为一个思维实验,让我们假设我们是一个投资组合经理,他被赋予了资本,并被赋予了这样一个任务:应该将多少资本分配给两个可用的资产(A & B),以使预期收益最大化并降低风险。

    我们还有以下可用值:

    Ra = 0.175

    Rb = 0.055

    (标准偏差)a = 0.258

    (标准偏差)b = 0.115

    (Std-dev)ab = -0.004875

    (Cor-cof)ab = -0.164

    从每个A & B资产的50-50分配开始,Rp计算为0.115,(Std-dev)p为0.1323。一个简单的比较告诉我们,对于这两种资产组合,回报和风险在每种资产的单个价值之间。

    然而,我们的目标是提高投资组合的回报,使其超过任何一项单独资产的平均水平,并降低风险,使其低于单独资产的回报。

    现在我们来看资产A中的1.5资本配置头寸,以及资产b中的-0.5资本配置头寸(负资本配置是指做空,收到的股票和资本被用来购买另一项资本配置为正的资产的盈余。换句话说,我们以0.5倍的资本做空股票B,并用这笔钱以1.5倍的资本购买股票A。)

    使用这些值,我们得到Rp为0.1604,(Std-dev)p为0.4005。

    类似地,我们可以继续对资产A & B使用不同的分配权重,并得出不同的Rp和(std-dev)p集。根据期望的回报(Rp),可以选择最可接受的风险水平(Std-dev)p。或者,对于期望的风险水平,可以选择最佳的可用投资组合回报。无论哪种方式,通过这种投资组合理论的数学模型,都有可能达到创建一个具有期望风险和回报组合的有效投资组合的目标。

    自动化工具的使用使人们能够轻松、顺利地检测出可能的最佳分配比例,而不需要任何冗长的手动计算。

    有效前沿、资本资产定价模型(CAPM)和使用MPT的资产定价也是从相同的正态分布模型演变而来的,并且是MPT的扩展。

    对MPT的挑战(和潜在的正态分布)

    不幸的是,没有一个数学模型是完美的,每个模型都有不足和局限性。

    股票价格收益遵循正态分布本身的基本假设一再受到质疑。有足够的经验证明,在某些情况下,值不符合假设的正态分布。将复杂的模型建立在这样的假设基础上可能会导致结果有很大的偏差。

    进一步深入MPT,关于相关系数和协方差的计算和假设保持不变(基于历史数据),对于未来的期望值可能不一定成立。例如,从2001年到2004年,债券和股票市场在英国市场表现出完美的相关性,这两种资产的回报同时下降。事实上,在2001年之前的很长一段历史时期里,人们都观察到了相反的情况。

    这个数学模型没有考虑投资者的行为。税收和交易成本被忽略,即使部分资本配置和做空资产的可能性被假设。

    事实上,这些假设可能都不成立,这意味着实现的财务回报可能与预期利润有很大差异。

    底线

    数学模型提供了一个很好的机制,可以用单一的、可跟踪的数字来量化一些变量。但是由于假设的限制,模型可能会失败。

    正态分布构成了投资组合理论的基础,但不一定适用于股票和其他金融资产的价格模式。投资组合理论本身有许多假设,在做出重要的财务决策之前,应该对这些假设进行严格的审查。

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    作者: 爱财富网

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